前言
基础知识
- 1、定积分的由来：
分割，以曲化直，求和，取极限；
其中定积分的符号\(\displaystyle\int\)其实是求和符号\(sum\)中的首字母\(s\)的拉长写法；
2、定积分与面积的关系
3、定积分的运算法则
4、求解定积分的思路与途径：
①用公式求解定积分，即微积分基本定理；
如\(\displaystyle\int_{1}^2\;x^2\;dx=\cfrac{x^3}{3}\Big|_{1}^2=\cfrac{2^3-1^3}{3}=\cfrac{7}{3}\)；
②利用面积求解定积分，数形结合求解；
如\(\displaystyle\int_{-1}^1\;\sqrt{1-x^2}\;dx\)，由于\(y=\sqrt{1-x^2}\)表示的是\(x\)轴上方的单位圆，
由定积分的几何意义可知，所求的定积分等于半个单位圆的面积，
故\(\displaystyle\int_{-1}^1\;\sqrt{1-x^2}\;dx=\cfrac{\pi}{2}\)，
【换元积分法，备忘，不要求掌握】求值\(\displaystyle\int_{-1}^1\;\sqrt{1-x^2}\;dx\)，
分析：令\(x=sin\theta\)，则由\(x\in [-1，1]\)，则\(\theta\in [-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2}]\)，
且\(dx=dsin\theta=cos\theta d\theta\)，故有
\(\displaystyle\int_{-1}^1\;\sqrt{1-x^2}\;dx=\displaystyle\int_{-\cfrac{\pi}{2}}^{\cfrac{\pi}{2}} cos\theta \cdot cos\theta d\theta\)
\(=2\displaystyle\int_{0}^{\cfrac{\pi}{2}} cos^2\theta d\theta=2\displaystyle\int_{0}^{\cfrac{\pi}{2}} \cfrac{1+cos2\theta}{2} d\theta\)
\(=\displaystyle\int_{0}^{\cfrac{\pi}{2}} (1+cos2\theta) d\theta=\theta\Big|_{0}^{\cfrac{\pi}{2}}+\cfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{\cfrac{\pi}{2}} cos2\theta d2\theta\)
\(=\theta\Big|_{0}^{\cfrac{\pi}{2}}+\cfrac{1}{2}sin2\theta\Big|_{0}^{\cfrac{\pi}{2}}=\cfrac{\pi}{2}\)；
③利用函数的奇偶性求解定积分；
比如\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\; xcosx\;dx=0\)；注意函数\(y=xcosx\)为奇函数；
\(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\; x^2cosx\;dx=2\displaystyle\int_{0}^{\pi}\; x^2cosx\;dx\)；注意函数\(y=x^2cosx\)为偶函数；
④综合运用以上方法求解定积分；
\(\int_{-1}^1\;(x^2+x+\sqrt{1-x^2})\;dx=\displaystyle\int_{-1}^1\;(x^2+x)\;dx+\displaystyle\int_{-1}^1\;\sqrt{1-x^2}\;dx=\cfrac{2}{3}+\cfrac{\pi}{2}\)；
- 5、常用的原函数与被积函数的关系：
①\(\displaystyle\int_{a}^{b} Cdx=Cx\Big|_{a}^{b}\)(\(C\)为常数)；
②\(\displaystyle\int_{a}^{b} x^ndx=\cfrac{1}{n+1}x^{n+1}\Big|_{a}^{b}\)(\(n\neq -1\))；
③\(\displaystyle\int_{a}^{b} sinxdx=-cosx\Big|_{a}^{b}\)；
④\(\displaystyle\int_{a}^{b} cosxdx=sinx\Big|_{a}^{b}\)；
⑤\(\displaystyle\int_{a}^{b} \cfrac{1}{x}dx=lnx\Big|_{a}^{b}\)(\(b>a>0\))；
⑥\(\displaystyle\int_{a}^{b} e^xdx=e^x\Big|_{a}^{b}\)；
⑦\(\displaystyle\int_{a}^{b} a^xdx=\cfrac{a^x}{lna}\Big|_{a}^{b}\)(\(a>0，a\neq 1\))；
⑧\(\displaystyle\int_{a}^{b} \sqrt{x}dx=\cfrac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\Big|_{a}^{b}\)；
⑨\(\displaystyle\int_{a}^{b} (b+kx)^{\alpha}dx=\cfrac{1}{k}\cdot \cfrac{(b+kx)^{\alpha+1}}{\alpha+1} e^x\Big|_{a}^{b}\)；
⑩\(\displaystyle\int_{a}^{b} e^{kx}dx=\cfrac{1}{k}\cdot e^{kx}\Big|_{a}^{b}\)；
典例剖析
例1【2016宝鸡市质量检测一第15题】抛物线\(y^2=x\)与直线\(x-2y-3=0\)围成的平面图形的面积是_____________。
法1：以\(x\)为元积分，
\(S=\displaystyle\int_{0}^{1} [\sqrt{x}-(-\sqrt{x})]\,dx+\displaystyle\int_{1}^{9} (\sqrt{x}-\cfrac{x}{2}+\cfrac{3}{2})\,dx\)
\(=2\cdot\cfrac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}\Big|_0^1+\cfrac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}\Big|_1^9+\cfrac{3}{2}\cdot x\Big|_1^9-\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{x^2}{2}\Big|_1^9\)
\(=\cfrac{32}{3}\)
法2：以\(y\)为元积分，
\(S=\displaystyle\int_{-1}^{3}(2y+3-y^2)\;dy=\cfrac{32}{3}\)
例2【用定积分求规则图形的面积】
如图所示，求梯形ABCD的面积。
法1：用梯形的面积公式可得，\(S_{梯形ABCD}=\cfrac{(2+8)}{2}\times 3=15\)；
法2：用定积分求解面积，\(S_{梯形ABCD}=\displaystyle\int_{1}^{4}2x\;dx=2\times\cfrac{x^2}{2}\Big|_1^4=16-1=15\)；
定积分可以求规则图形的面积，也可以求不规则图形的面积，这样我们能解决的问题的类型就更多了。
例3【定积分的结果实质上是个实数】【2014江西卷】\(f(x)=x^2+2\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx\)，则\(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx\)的值为多少？
分析：注意到表达式\(\int_{0}^{1}f(x)dx\)应该是个实数，故两边同时取定积分得到
\(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;dx=\displaystyle\int_{0}^{1}x^2\;dx+\displaystyle\int_{0}^{1}[2\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx]dx\)，
即就是\(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;dx=\displaystyle\int_{0}^{1}x^2\;dx+[2\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx]\cdot \displaystyle\int_{0}^{1}1\cdot dx\)，
即\(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;dx=\cfrac{x^3}{3}\Big|_0^1+[2\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx]\cdot x\Big|_0^1\)，
即\(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;dx=\cfrac{1}{3}+2\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx\)，
即\(\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;dx=-\cfrac{1}{3}\).
例3对照【函数的导数实质上也是实数】已知函数\(f(x)=x^2+2f'(2)\cdot x+1\)，求函数的解析式\(f(x)\).
分析：给原式两边同时求导，可得\(f'(x)=2x+2f'(2)\)，
再令\(x=2\)得到\(f'(2)=4+2f'(2)\)，解得\(f'(2)=-4\)，可知\(f(x)=x^2-8x+1\)。
例4【利用定积分证明球体的体积公式】
求体积问题，也是定积分的一个重要应用，必然求简单旋转几何体的体积公式。
比如，\(V=\pi\cdot \displaystyle\int_{a}^{b} f^2(x)\;\;dx\)
已知半径为\(R\)的球体可以看成是由曲线\(y=\sqrt{R^2-x^2}\)与\(x\)轴所围成的区域(半圆)绕\(x\)轴旋转一周得到的，求球体的体积公式。
\(V_{球}=\pi\cdot \displaystyle\int_{-R}^{R}(R^2-x^2)\;dx\)
\(=\pi\cdot R^2\cdot \displaystyle\int_{-R}^{R}1 dx-\pi\cdot \displaystyle\int_{-R}^{R}x^2\;dx\)
\(=\pi\cdot R^2\cdot x\Big|_{-R}^{R}-\pi\cdot \cfrac{x^3}{3}\Big|_{-R}^{R}\)
\(=2\pi R^3-\cfrac{2\pi R^3}{3}=\cfrac{4\pi R^3}{3}\)。
例5【利用定积分比较大小】
若\(s_1=\displaystyle\int_{1}^{2}x^2\;dx\)，\(s_2=\displaystyle\int_{1}^{2}\cfrac{1}{x}\;dx\)，\(s_3=\displaystyle\int_{1}^{2}e^x\;dx\)，则\(S_1，S_2，S_3\)的大小关系如何？
法1：从数的角度，计算定积分的大小，从而比较大小，过程略。\(S_2<S_1<S_3\)。
法2：从形的角度，利用定积分的几何意义，借助图形的面积直观比较大小。\(S_2<S_1<S_3\)。
例6【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在\((ax+1)^6\)的二项展开式中，若中间项的系数为\(160\)，则\(\int_{0}^a\;(x+\sqrt{4-x^2})\;dx\)=___________.
分析：二项展开式的中间项为指数为3的项，由\(C_6^3(ax)^3\cdot 1^3=160x^3\)，解得\(a=2\)，故求解如下的定积分，
\(\int_{0}^2\;(x+\sqrt{4-x^2})\;dx=\cfrac{1}{2}x^2\Big |_0^2+\int_{0}^a\;\sqrt{4-x^2}\;dx=\pi+2\)
说明：\(\int_{0}^a\;\sqrt{4-x^2}\;dx=\cfrac{1}{4}\times \pi\times 2^2=\pi\)，利用其几何意义求解；